Divisores

Sumário

1. Regras de Divisibilidade

Existem regras para sabermos se um número é divisível por outro, veja abaixo:

Todo número divisível por 2 possui um algarismo das unidades par;
Todo número divisível por 3 tem como resultado da soma de seus dois últimos algarismos (dezena e unidade) um número múltiplo de 3;
Todo número divisível por 4 termina em 00 ou seus dois últimos algarismos (dezena e unidade) formam um múltiplo de 4;
Todo número divisível por 5 tem um algarismo das unidades igual a 0 ou 5;
Todo número divisível por 6 é divisível por 3 e 2;
Todo número divisível por 8 tem seus três últimos algarismos (centena, dezena e unidade) igual a 000 ou a soma deles resulta em um número múltiplo de 8;
Todo número divisível por 9 tem a soma de seus algarismos o resultado de um número múltiplo de 9;
Todo número divisível por 10 tem seu algarismo das unidades igual a 0.

2. Números Primos e Compostos

Consideramos como número primo aquele número que só é divisível por 1 e ele mesmo, os demais são considerados números compostos pelo fato de possuírem mais de 2 divisores. Vale ressaltar que o número 1 não é nem primo nem composto.

3. Decomposição em Fatores Primos

A decomposição em fatores primos de um número é a representação desse número como um produto de todos seus fatores primos. Para efetuarmos essa decomposição dividimos o número pelo seu menor divisor primo, caso o quociente seja 1 terminamos, se não repetimos a divisão com o quociente da última divisão até que o quociente seja 1. Veja um exemplo abaixo:

\begin{aligned} 20 & | 2 \\ 10 & | 2 \\ 5 & | 5 \\ 1 & | \\ 20 & = 2^{2} \cdot 5 \end{aligned}

4. Quantidade de Divisores

Podemos calcular a quantidade de divisores de um número a partir da sua decomposição em fatores primos. A quantidade de divisores é igual o produto de cada expoente + 1, portanto temos:

\begin{array}{r} x = p_{0}^{e_{0}} \cdot p_{1}^{e_{1}} \cdot \dots \cdot p_{n}^{e_{n}} \\ Q D (x) = \prod_{i = 0}^{n} (e_{i} + 1) \end{array}

5. Máximo Divisor Comum

Para encontrarmos o máximo divisor comum (MDC) de dois ou mais números, isto é, encontrar o maior divisor comum desses números, efetuamos a decomposição em fatores primos para cada número, de forma que o MDC será o produto dos fatores primos que dividiram todos os números na mesma etapa. Veja um exemplo abaixo:

\begin{aligned} 24 = 2^{3} \cdot 3 \\ 32 = 2^{3} \cdot 2^{2} \\ 48 = 2^{3} \cdot 2 \cdot 3 \\ m d c (24, 32, 48) = 2^{3} = 8 \end{aligned}

6. Mínimo Múltiplo Comum

Para encontrarmos o mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou mais números, efetuamos a decomposição em fatores primos dos números de forma simultânea, até que todos os valores alcancem 1. Veja um exemplo abaixo:

\begin{aligned} 12, 6, 3 & | 2 \\ 6, 3, 3 & | 2 \\ 3, 3, 3 & | 3 \\ 1, 1, 1 \\ m m c (12, 6, 3) & = 2 ² \cdot 3 \end{aligned}

7. Formando o Conjunto dos Divisores

Para encontrar o conjunto dos divisores de um número, isto é, a coleção de todos números que dividem este número, primeiro o decompomos em fatores primos, em seguida traçamos uma outra linha vertical, na primeira linha escrevemos o fator primo multiplicado por 1, nas linhas seguintes multiplicamos o fator primo correspondente por todos os resultados das linhas anteriores, deve-se evitar números repetidos. Veja um exemplo abaixo:

\begin{aligned} 20 & | 2 | 2 \cdot 1 = 2 \\ 10 & | 2 | 2 \cdot 2 = 4 \\ 5 & | 5 | 5 \cdot 1 = 5; 5 \cdot 2 = 10; 5 \cdot 4 = 20 \\ 1 & | \\ 20 & = 2^{2} \cdot 5 \end{aligned}

O conjunto dos divisores é formado por todos resultados, portanto temos que:

D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

8. Árvore de Fatores

A árvore de fatores é uma técnica para efetuar uma decomposição em fatores primos. A ideia é criarmos uma árvore binária, a raiz é o número que queremos decompor, em seguida criamos dois nós filhos, onde o produto desses nós deve ser igual ao pai, fazemos o mesmo para os filhos, se o determinado filho não for um fator primo, seguimos adicionando filhos até que não reste mais fatores não primos. Dessa maneira, a decomposição é o produto de todos os filhos sem filhos, isto é, todos os filhos que representam fatores primos.