Proposições

Sumário

1. Conceito

Uma proposição ou sentença é uma oração declarativa, deve ser nem interrogativa e nem exclamativa, também deve possuir sujeito, predicado e verbo, e por fim também deve ser falsa ou verdadeira. Veja alguns exemplos:

2 é um número par (verdadeira)
3 é um número par (falsa)
7 é menor que 3 (falsa)

2. Negação

A operação de negação em proposições inverte o valor lógico, portanto se uma proposição é falsa, sua negação ( $\neg p$ ) é verdadeira e vice-versa.

$p$	$\neg p$
V	F
F	V

3. Conectivos

Podemos utilizar símbolos lógicos chamados de conectivos para a partir de duas ou mais proposições estabelecer outra proposição. Temos a conjunção $\land$ (AND), a disjunção $\lor$ (OR) e a disjunção exclusiva $\oplus$ (XOR), veja a tabela abaixo:

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \oplus q$
V	V	V	V	F
V	F	F	V	V
F	V	F	V	V
F	F	F	F	F

4. Condicionais

Podemos utilizar símbolos lógicos chamados de condicionais para propor outras proposições. Temos a condicional $\to$ se "..." então "..." e a condicional $\leftrightarrow$ se, e somente se "..." então "...", veja a tabela abaixo:

$p$	$q$	$p \to q$	$p \leftrightarrow q$
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	V	F
F	F	V	V

5. Tautologias, Contradições e Contingências

Dizemos que uma proposição $p$ é uma tautologia quando ela sempre é verdadeira, contradição quando sempre é falsa e contingência quando pode assumir qualquer dos dois valores lógicos.

6. Relação de Implicação

Podemos dizer que uma proposição $p$ implica logicamente uma proposição $q$ ( $p ⟹ q$ ) quando a condicional $p \to q$ é uma tautologia. Isso significa que, sempre que $p$ for verdadeira, $q$ também será verdadeira. Portanto, não existe uma interpretação na qual $p$ seja verdadeira e $q$ seja falsa. Dessa forma, a condicional $p \to q$ é verdadeira em todas as interpretações possíveis, caracterizando uma tautologia.

Vale ressaltar que um teorema pode ser expresso na forma de uma implicação lógica:

hipótese ⟹ tese

Nesse contexto, a hipótese corresponde às condições assumidas, enquanto a tese corresponde à afirmação que deve ser demonstrada a partir dessas condições.

7. Relação de Equivalência

Podemos dizer que as proposições $p$ e $q$ são equivalentes ( $p ⟺ q$ ) quando ambas proposições possuem mesmo valor lógico, ou seja, compartilham da mesma tabela-verdade. De forma simplificada, $p$ e $q$ são equivalentes quando a condicional $p \leftrightarrow q$ é verdadeira. Vale ressaltar que, para todo teorema que cujo recíproco ( $q ⟹ p$ ), é verdadeiro, também é uma equivalência.

8. Tabela de Prioridade de Operadores

Considerando o menor número como maior prioridade, veja a tabela de prioridade logo a seguir:

Operador	Prioridade
$\neg$	1
$\land$	2
$\lor$	3
$\to$	4
$\leftrightarrow$	5

9. Leis de DeMorgan

As leis de DeMorgan demonstra a equivalência de algumas operações feitas com proposições, podemos utilizar deste recurso para simplificar expressões. Veja logo abaixo:

\begin{array}{r} \neg (p \land q) ⟺ \neg p \lor \neg q \\ \neg (p \lor q) ⟺ \neg p \land \neg q \end{array}