Frações

Sumário

1. Conceito

Uma fração representa uma parte (numerador) de um todo (denominador), utilizamos a seguinte notação:

\frac{numerador}{denominador}

Portanto, se temos uma pizza com um total de 6 pedaços e queremos representar apenas 3 pedaços dessa pizza, utilizamos a fração $\frac{3}{6}$ . Vale ressaltar que a fração expressa uma divisão, portanto temos que

\frac{3}{6} = 3 \div 6 = 0.5

2. Simplificando Frações

Simplificar uma fração é o ato de encontrar uma fração equivalente com o menor numerador e denominador possível. A simplificação de frações facilita a leitura e operações de transformação e manipulação, podemos simplificar uma fração dividindo o numerador e denominador pelo o MDC entre eles, ou dividir ambos por divisores em comum, até que cheguemos numa fração irredutível, aquela fração a qual não pode ser mais reduzida, simplificada. Veja um exemplo abaixo:

\begin{aligned} m d c & (16, 4) = 4 \\ \frac{4}{16} & = \frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4} \end{aligned}

3. Fração de um Número

Podemos representar a divisão de um número por outro utilizando uma fração, por exemplo $\frac{3}{4} de 60$ , para resolvermos essa conta, dividimos o 60 pelo denominador (4) e multiplicamos o resultado pelo numerador (3), portanto:

\frac{3}{4} de 60 = 60 \div 4 \cdot 3 = 45

4. Classificando Frações

Própria: uma fração onde o denominador é menor que o numerador, isto garante que o valor representado seja maior que 1;
Imprópria: uma fração onde o denominador é maior que o numerador, isto garante que o valor representado seja menor que 1;
Equivalente: uma fração que representa o mesmo valor que outra, porém com denominador e numerador diferentes;
Aparente: uma fração onde o numerador é múltiplo do denominador, portanto pode ser simplificada;
Irredutível: uma fração que não pode mais ser simplificada.

5. Números Mistos

Um número misto é a composição de uma parte inteira e uma parte fracionária $5 \frac{3}{2}$ . Podemos o transformar em uma fração imprópria, para isso, mantemos o denominador e somamos o numerador pelo produto da parte inteira com o denominador, assim temos que:

5 \frac{3}{2} = \frac{3 + 5 \cdot 2}{2} = \frac{13}{2}

Essa notação é desencorajada, é utilizada para evitar a expressão de frações impróprias, porém tem conflito com a notação de multiplicação de fração por um escalar.

6. Convertendo frações para o mesmo denominador

Em algumas situações é de nosso interesse que duas ou mais frações tenham o mesmo denominador, podemos converter duas ou mais frações para um mesmo denominador comum. Para fazermos isso, primeiro efetuamos o MMC entre os denominadores das frações, para cada fração, a multiplicamos pelo MMC dividido pelo denominador original. Caso alguma fração já tenha o denominador igual ao MMC, omitimos a operação para essa fração. Considerando as frações $\frac{2}{3}$ e $\frac{1}{5}$ , veja um exemplo abaixo:

\begin{aligned} m m c (3, 5) = 15 \\ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} \\ \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15} \end{aligned}

7. Comparando Frações

Para compararmos frações elas precisam ter o denominador em comum, caso não tenham o denominador em comum, podemos converter ou usar a técnica do produto cruzado. Portanto, para denominadores iguais:

\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \leftrightarrow a > b

A técnica do produto cruzado serve tanto para comparar frações com denominadores iguais, quanto com denominadores diferentes. Portanto, temos:

\frac{a}{b} > \frac{c}{d} \leftrightarrow a d > c b

8. Adição e Subtração de Frações

Para efetuarmos operação de adição ou subtração com frações, elas precisam ter o denominador em comum, caso não tenham o denominador em comum, podemos converter ou usar a técnica da borboleta. Portanto, para denominadores iguais:

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}

A técnica da borboleta consiste em formar uma fração com o numerador sendo a subtração ou adição dos produtos cruzados e o denominador sendo o produto dos denominadores:

\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a d - c b}{b d}

9. Multiplicação e Divisão de Frações

Para efetuarmos uma multiplicação de frações, multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}

Para efetuarmos uma divisão de frações multiplicamos a primeira fração pela inversa da segunda:

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a d}{b c}

10. Números Decimais e Frações Decimais

Um número decimal é um número que possui uma parte inteira no lado esquerdo da vírgula e uma parte decimal no lado direito da vírgula: $$254,021$$
Uma fração decimal é uma fração que possui uma potência de 10 em seu denominador, utilizamos-as para representar números decimais em frações. As 3 primeiras ordens decimais são $\frac{1}{10}$ décimo, $\frac{1}{100}$ centésimo e $\frac{1}{1000}$ milésimo, portanto lemos o número anterior como 254 inteiros e 21 milésimos.

Podemos converter um número decimal para uma fração decimal, o numerador é o número sem vírgula e o denominador uma potência de 10 equivalente a quantidade de casas após a virgula, por exemplo, o número anterior possui 3 casas após a vírgula, logo o denominador é $10^{3} = 1000$ , portanto:

254, 021 = \frac{254021}{1000}

11. Comparando Números Decimais

Primeiramente igualamos as casas decimais, em seguida comparamos a parte inteira, caso sejam diferentes, o número que tiver a maior parte inteira é o maior, se forem iguais comparamos a parte decimal casa-a-casa da esquerda para a direita, dessa maneira encontramos o maior número.

12. Adição e Subtração de Números Decimais

Para efetuarmos adição ou subtração de números decimais, igualamos as casas decimais e deixamos vírgula embaixo de vírgula, efetua-se a operação e mantém o posicionamento da vírgula.

13. Multiplicação e Divisão de Números Decimais

Para a multiplicação entre números decimais, efetuamos a operação de multiplicação normalmente, e a posição da vírgula no resultado será equivalente a quantidade total de algarismos após a vírgula de todos os fatores.

8, 752 \cdot 1, 2 = 10, 5024 ( 3 + 1 = 4 casas )

Para a divisão, retiramos as vírgulas e igualamos a quantidade de algarismos adicionando zeros a direita, efetuamos a divisão e teremos o resultado.

8, 680 \div 0, 2 = 8680 \div 0200 = 43, 4

14. Dízima Periódica

Uma dízima periódica é uma divisão onde o quociente apresenta uma repetição de algarismos, chamada de período, por exemplo:

\frac{1}{3} = 0.333 \dots

As dízimas são classificadas em simples ou composta, a dízima simples ocorre quando o período aparece logo após a vírgula, na composta ele aparece após uma parte não periódica, por exemplo:

0.5333 \dots

15. Fração Geratriz

Denominados fração geratriz aquela fração a qual resulta em uma dízima periódica. Podemos converter uma dízima periódica em uma fração, para uma dízima simples o numerador será o período da dízima e o denominador será tantos nove quanto a quantidade de algarismos distintos que aparecem no período, por exemplo:

\begin{aligned} 0.333 \dots & = 0 + \frac{3}{9} \\ 2.5151 \dots & = 2 + \frac{51}{99} \end{aligned}

Para dízimas periódicas compostas, a conversão se baseia em o numerador ser a diferença do período pela parte não periódica, e o denominador sendo tantos noves quanto a quantidade de algarismos distintos pertencentes ao período, seguidos de tantos zeros quanto a quantidade de algarismos distintos não pertencentes ao período, por exemplo:

\begin{aligned} 0.56666 \dots & = 0 + \frac{56 - 5}{90} = \frac{51}{90} \\ 2.95151 \dots & = 2 + \frac{951 - 9}{990} = \frac{942}{990} \end{aligned}